Question

16．已知$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂为不共线的单位向量，设|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{e}$₁+k$\overrightarrow{e}$₂（k∈R），若对任意的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均有|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$成立，则向量$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂夹角的最大值是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根据题意求出${\overrightarrow{b}}^{2}$的表达式，再由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$求出${\overrightarrow{b}}^{2}$≥$\frac{3}{4}$，得出不等式k²+2kcos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞+$\frac{1}{4}$对任意k∈R恒成立，利用△≤0求出cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞的取值范围，从而得出$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角的最值．

解答 解：∵${\overrightarrow{b}}^{2}$=${（\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}$
=${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+2k$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+k²${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=k²+1+2k•cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞，
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$得，
${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{3}{16}$-2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+|${\overrightarrow{b}}^{2}$|≥$\frac{3}{16}$，
∴${|\overrightarrow{b}|}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≥0，
∴${|\overrightarrow{b}|}^{2}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，
∴|$\overrightarrow{b}$|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$≥$\frac{3}{4}$，
即k²+1+2kcos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞≥$\frac{3}{4}$恒成立；
∴k²+2kcos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞+$\frac{1}{4}$≥0对任意k∈R恒成立，
∴△=4cos²＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞-1≤0，
解得-$\frac{1}{2}$≤cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞≤$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}$≤＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角的最大值是$\frac{2π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，以及向量减法的三角形法则，二次函数取值情况和判别式△的关系，向量夹角的范围问题，是综合性题目．