Question

已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2＝an＋1，数列的前n项和,

（1）求;

（2）是否存在最大的整数t,使得对任意的正整数n均有总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由,

 

Answer 1

（1）an＝2n－1 ， ；（2）存在符合题意．

【解析】

试题分析：（1）利用数列的前项与通项的关系求出数列的通项公式,并进而由通项公式求出；

（2）由（1）知，于是可以用裂项法求数列的前项和 ．

试题解析：（1）由2＝an＋1，得Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝，得a1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，整理，得（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，

∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1>0．∴an－an－1－2＝0．

∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝a1＋（n－1）×2＝2n－1．

（2）由（1）知

于是

易知数列是递增数列，故T1=是最小值，只需，即，因此存在符合题意。

考点：1、数列的概念；2、等差数列；3、裂项法求数列的前项和．