Question

7．已知cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，则cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得sin（x+$\frac{π}{4}$），进而由二倍角公式可得sin（2x+$\frac{π}{2}$）和cos（2x+$\frac{π}{2}$），再整体代入两角差的余弦公式可得．

解答 解：∵$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，∴$\frac{5π}{6}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，
又∵cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，∴$\frac{3π}{2}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{24}{25}$，
cos（2x+$\frac{π}{2}$）=cos²（x+$\frac{π}{4}$）-sin²（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{7}{25}$，
∴cos（2x+$\frac{π}{4}$）=cos[（2x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{4}$]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$
故答案为：-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和整体思想，属中档题．