Question

20．三棱锥S-ABC中所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，作出侧棱PA与底面ABC所成的角，利用三角形的边角关系求出对应的余弦值．

解答 解：如图所示，
三棱锥S-ABC中所有棱长都相等且为a，可得AB=PA=a，
作PO⊥平面ABC，垂足为O，
连接AO，并延长交BC于点D，
∴∠PAD是PA与平面ABC所成的角，
且O是正三角形ABC的中心；
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴cos∠PAD=$\frac{AO}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直线与平面所成的角的计算问题，也考查了空间想象能力与三角形边角关系的计算能力，是中档题．