Question

17．设数列{a_n}的通项公式为a_n=n（$\frac{9}{10}$）ⁿ．关于数列{a_n}叙述正确的是（　　）

• A． 数列{a_n}的项随n的增大而增大
• B． 数列{a_n}的项随n的增大而减少
• C． 对于数列{a_n}中的项a_n，存在唯一k（k∈N^*），使a_n≤a_k对任意n∈N^*都成立
• D． 数列{a_n}中存在相等的两个项

Answer 1

分析 作差a_n+1-a_n=（n+1）×$（\frac{9}{10}）^{n+1}$-n×$（\frac{9}{10}）^{n}$=$（\frac{9}{10}）^{n}$×$\frac{9-n}{10}$．对n分类讨论，研究数列的单调性即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=（n+1）×$（\frac{9}{10}）^{n+1}$-n×$（\frac{9}{10}）^{n}$
=$（\frac{9}{10}）^{n}$$[\frac{9（n+1）}{10}-n]$
=$（\frac{9}{10}）^{n}$×$\frac{9-n}{10}$．
∴n＜9时，a_n+1＞a_n，数列{a_n}单调递增；
n=9时，a_n+1=a_n；
n＞9时，a_n+1＜a_n，数列{a_n}单调递减．
因此数列{a_n}中存在相等的两个项．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性、作差法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．