Question

(1)已知数列｛c_n｝，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且数列｛c_n＋1－pc_n｝为等比数列，求常数p;

(2)设｛a_n｝、｛b_n｝是公比不相等的两个等比数列，c_n＝a_n＋b_n，证明数列｛c_n｝不是等比数列．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵｛cn＋1－pcn｝为等比数列． ∴(cn＋2－pcn＋1)2＝(cn＋3－pcn＋2)(cn＋1－pcn)将cn＝2n＋3n代入整理得： (2－p)(3－p)＝0，∴p＝2或p＝3 (2)设｛an｝｛bn｝两个等比数列的公比分别为q1，q2且q1≠q2， 若｛cn｝成等比数列，则cn＋12＝cncn＋2即(an＋1＋bn＋1)2＝(an＋bn)(an＋2＋bn＋2) 整理得2an＋1bn＋1＝anbn＋2＋bnan＋2即2q1q2＝q12＋q22 ∴q1＝q2与q1≠q2矛盾，因此｛cn｝不是等比数列． 通过上述解法可看到若｛an｝｛bn｝成等比数列且公比相同则｛an＋bn｝成等比数列；若｛an｝｛bn｝成等比数列且公比不同，则｛an＋bn｝不构成等比数列．