Question

判断y=1-2x³ 在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：在实数集内人去两个自变量的值，函数值作差后进行因式分解，展开立方差后后面的二次三项式还要进行配方，最后判断差式的符号，得到函数值的大小，从而得到结论．

解答：证明：f（x）=1-2x³在（-∞，+∞）上为单调减函数，证明如下
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=（1-2x³₁）-（1-2x³₂）
=2（x³₂-x₁³）
=2（x₂-x₁）（x²₂+x₁x₂+x²₁）
=2（x₂-x₁）[（x₁+x₂）²+

3

4

x22]
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0，
又（x₁+x₂）²≥0，

3

4

x22≥0，且（x₁+x₂）²，

3

4

x22不同时为0，
∴2（x₂-x₁）[（x₁+x₂）²+

3

4

x22]＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂） 
故f（x）=1-2x³在（-∞，+∞）上为单调减函数．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，关键是作差判符号，作差时因式分解要彻底，避免出现“证题用题”现象的发生，此题是中档题．