Question

12．已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），则g（x）=f²（x）+f（x²）的值域为        （　　）

• A． [-2，7]
• B． [2，7]
• C． [-2，14]
• D． [2，14]

Answer 1

分析 利用题意先求出g（x）的定义域，化简g（x）=（1+log₂x）²+1+2log₂x后，设t=log₂x由对数函数的性质求出t的范围，代入g（x）后由二次函数的性质求出值域．

解答 解：由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤100}\\{1≤{x}^{2}≤100}\end{array}\right.$，解得1≤x≤10，
∵f（x）=lgx+1（1≤x≤100），
∴g（x）=f²（x）+f（x²）=（lgx+1）²+1+2lgx
=（lgx）²+4lgx+2，1≤x≤10
设t=lgx，则0≤t≤1，
所以h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1
∵h（t）在[0，1]为增函数，且h（0）=2，h（1）=7
∴h（t）=t²+4t+2（0≤t≤1）值域为[2，7]，
即g（x）=f²（x）+f（x²）的值域为[2，7]，
故选B．

点评 本题考查了对数函数的性质，以及利用换元法转化为二次函数求值域问题，注意自变量的范围．