Question

（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为

n(n+1)

2

=

1

2

n2+

1

2

n．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数N(n，3)=

1

2

n2+

1

2

n，
正方形数N（n，4）=n²，
五边形数N(n，5)=

3

2

n2-

1

2

n，
六边形数N（n，6）=2n²-n，
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=

1000

．

Answer 1

分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得N(n，k)=

k-2

2

n2+

4-k

2

n，把n=10，k=24代入可得答案．

解答：解：原已知式子可化为：N(n，3)=

1

2

n2+

1

2

n=

3-2

2

n2+

4-3

2

n，
N(n，4)=n2=

4-2

2

n2+

4-4

2

n，N(n，5)=

3

2

n2-

1

2

n=

5-2

2

n2+

4-5

2

n，
N(n，6)=2n2-n=

6-2

2

n2+

4-6

2

n，
由归纳推理可得N(n，k)=

k-2

2

n2+

4-k

2

n，
故N(10，24)=

24-2

2

×102+

4-24

2

×10=1100-100=1000
故答案为：1000

点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题．