Question

12．设平面区域D是由双曲线y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的两条渐近线和抛物线y²=-8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则z=|3x-4y+5|的最大值是15．

Answer 1

分析 先求出双曲线的两条渐近线为，抛物线y²=-8x的准线为x=2，结合图象可得在点B（2，-1）时，z=|3x-4y+5|取得最大值．

解答 解：双曲线y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1的两条渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x，抛物线y²=-8x的准线为x=2．
故可行域即图中阴影部分，（含边界）．
目标函数z=|3x-4y+5|的几何意义就是，可行域的点到直线3x-4y+5=0的距离的5倍：由图形可知B到3x-4y+5=0的距离最大，
故在点B（2，-1）时，最大值为：$5×\frac{|3×2+4×1+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=15．
故答案为：15．

点评 本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合应用，以及圆锥曲线的简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题．