Question

函数f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）在区间[0，

π

2

]上的值域为

 

．

Answer 1

分析：求出函数的导数，研究函数在区间[0，

π

2

]上的单调性，确定出函数最值，代入求出函数最值即可

解答：解：∵f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）=

2

2

e^xsin（x+

π

4

）
∴f'（x）=

2

2

e^xsin（x+

π

4

）+

2

2

e^xcos（x+

π

4

）=e^xsin（x+

π

2

）=e^xcosx
在区间[0，

π

2

]上f'（x）=e^xcosx≥0
故函数f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）在区间[0，

π

2

]上的值域为[f（0），f（

π

2

）]=[

1

2

，

1

2

e

π

2

]
故答案为[

1

2

，

1

2

e

π

2

]

点评：本题考查用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数在闭区间上的值域，是导数应用中的基本题型．