题目内容
2．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+3（x≤1）\\ 1nx（x＞1）\end{array}\right.$，若关于x的方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）| A． | $（{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$ | B． | $[{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$ | C． | $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}]$ | D． | $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}）$ |
分析 由题意可得f（x）的图象和直线y=kx-$\frac{1}{2}$有4个交点，数形结合可得点（1，0）在直线y=kx-$\frac{1}{2}$的下方，由此可得k的范围．再求出直线y=kx-$\frac{1}{2}$和y=lnx相切时k的值，数形结合求得k的范围．
解答 
解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+3（x≤1）\\ 1nx（x＞1）\end{array}\right.$，若关于x的方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，
∴f（x）的图象和直线y=kx-$\frac{1}{2}$有4个交点．
做出函数f（x）的图象，如图，故点（1，0）在直线y=kx-$\frac{1}{2}$的下方，
∴k•1-$\frac{1}{2}$＞0，解得k＞$\frac{1}{2}$．
再根据当直线y=kx-$\frac{1}{2}$和y=lnx相切时，设切点横坐标为m，
则 k=$\frac{lnm+\frac{1}{2}}{m-0}$=$\frac{1}{m}$，∴m=$\sqrt{e}$，此时，k=$\frac{1}{m}$=$\frac{\sqrt{e}}{e}$，f（x）的图象和直线y=kx-$\frac{1}{2}$有3个交点，不满足条件，
故要求的k的范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{e}}{e}$），
故选：D．
点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，求曲线的切线的斜率，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | {a1|a1≥2017，a1∈N+} | B． | {a1|a1≥2016，a1∈N+} | C． | {a1|a1≥2015，a1∈N+} | D． | {a1|a1≥2014，a1∈N+} |
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| A． | 不存在x0∈R，使得$x_0^2＜0$ | B． | ?x∈R，都有x2＜0 | ||
| C． | ?x0∈R，使得$x_0^2≥0$ | D． | ?x0∈R，使得$x_0^2＜0$ |