Question

已知向量满足，其中k＞0，
（1）试用k表示，并求出的最大值及此时的夹角为θ的值；
（2）当取得最大值时，求实数λ，使的值最小，并对这一结果作出几何解释．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得=-（ ），利用基本不等式可得 =，故 ≤-，此时，
=-=1×1cosθ，θ=120°．
（2）当取得最大值时，=-=，故当λ= 时，的最小值等于 ，
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=时，对角线OB最短为．
解答：解：（1）∵||=||=1，，
∴-2k+=3k² +6k+3 ，∴1-2k+k²=3k²+6k+3，
∴=-（ ）．∵=，
∴≤-，当且仅当，即k=1时，取等号．
此时，=-=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）当取得最大值时，=-，===，
故当λ= 时，的最小值等于=，
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=时，对角线OB最短为．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，基本不等式的应用，是一道中档题．