Question

2．求曲线y=$\sqrt{x}$，x+y=6，y=-$\frac{1}{4}$x围成的平面图形的面积．

Answer 1

分析 方法一：求得交点坐标，根据定积分的几何性质，计算即可求得围成的平面图形的面积；
方法二：求得交点坐标，对y积分，根据定积分的几何性质，计算即可求得围成的平面图形的面积．

解答 解：方法一：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，则A（4，2），
则C（6，0），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=-\frac{1}{4}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-2}\end{array}\right.$，则B（8，-2），
则阴影部分的面积${∫}_{0}^{4}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{4}^{6}$（-x+6）dx+S_△OBC，
=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${丨}_{0}^{4}$+（-$\frac{1}{2}$x²+6x）${丨}_{-4}^{6}$+$\frac{1}{2}$×6×2，
=$\frac{16}{3}$+2+6，
=$\frac{40}{3}$，
则所围成的平面图形的面积S=$\frac{40}{3}$．
方法二：对y积分，则阴影部分的面积${∫}_{0}^{2}$（6-y-y²）dy+S_△OBC，
=（6y-$\frac{1}{2}$y²-$\frac{1}{3}$y³）${丨}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}$×6×2，
=$\frac{22}{3}$+6，
=$\frac{40}{3}$，
则所围成的平面图形的面积S=$\frac{40}{3}$．

点评 本题定积分的几何意义，利用定积分求阴影部分的面积，考查计算能力，属于中档题．