Question

4．已知函数f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$，其中 a＞1：
（1）证明：函数f（x）在（-1，∞）上为增函数；
（2）证明：不存在负实数x₀使得f（x₀）=0．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=a^x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=$\frac{x-2}{x+1}$，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；
（2）通过讨论x∈（-∞，-1）时，f（x）＞0，x∈（-1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．

解答 证明：函数f（x）的定义域是（-∞，-1）∪（-1，+∞），
（1）函数f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$，其中 a＞1，
令g（x）=a^x，（a＞1），则g（x）在R递增，
令h（x）=$\frac{x-2}{x+1}$，则h′（x）=$\frac{3}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在（-1，∞）上为增函数；
（2）x∈（-∞，-1）时，0＜a^x＜1，
$\frac{x-2}{x+1}$=1-$\frac{3}{x+1}$，
x→-∞时：x+1→-∞，-$\frac{3}{x+1}$→0，
x→-1时，-$\frac{3}{x+1}$→+∞，
故x∈（-∞，-1）时：f（x）∈（1，+∞），
x∈（-1，0）时，由（1）得：f（x）在（-1，0）递增，
而f（0）=a⁰+$\frac{0-2}{0+1}$=-2，∴f（x）＜0在（-1，0）恒成立，
综上：不存在负实数x₀使得f（x₀）=0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．