Question

1．设点P在曲线y=$\frac{1}{2}$x²上，从原点向A（2，2）移动，如果直线OP，曲线y=$\frac{1}{2}$x²及直线x=2所围成的阴影部分面积分别记为S₁、S₂．
（Ⅰ）当S₁=S₂时，求点P的坐标；
（Ⅱ）当S₁+S₂有最小值时，求点P的坐标和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=$\frac{1}{2}$tx，则S₁为直线OP与曲线y=$\frac{1}{2}$x²当x∈（0，t）时所围面积，所以，S₁=∫₀^t（$\frac{1}{2}$tx-$\frac{1}{2}$x²）dx，S₂为直线OP与曲线y=$\frac{1}{2}$x²当x∈（t，2）时所围面积，所以S₂=∫_t²（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$tx）dx，再根据S₁=S₂就可求出t值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求当S₁+S₂，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S₁+S₂有最小值．

解答 解：（Ⅰ）设点p的横坐标为t（0＜t＜2），
则P点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t²），
直线OP的方程为y=$\frac{1}{2}$tx，
s₁=${∫}_{0}^{t}$（$\frac{1}{2}$tx-$\frac{1}{2}$x²）dx=$\frac{1}{12}$t³，S₂=${∫}_{t}^{2}$（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$tx）dx=$\frac{1}{12}$t³-t+$\frac{4}{3}$，
因为S₁=S₂，所以t=$\frac{4}{3}$，点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{9}$）．
（Ⅱ）S=S₁+S₂=$\frac{1}{12}$t³+$\frac{1}{12}$t³-t+$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{6}$t³-t+$\frac{4}{3}$，
S′=$\frac{1}{2}$t²-1，令S′=0，得$\frac{1}{2}$t²-1=0，∴t=$\sqrt{2}$，

因为9＜t＜$\sqrt{2}$时，S′＜0；$\sqrt{2}$＜t＜2时，S′＞0，
所以，当t=$\sqrt{2}$时，S_min=$\frac{4-2\sqrt{2}}{3}$，
P点的坐标为（$\sqrt{2}$，1）．

点评 本题考查了用定积分求两曲线所围图形面积，以及导数求最值，做题时应认真分析．