Question

15．已知函数f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$．
（1）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）若x＞0，证明：（e^x-1）ln（x+1）＞x²．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值得关系即可求出；
（2）原不等式等价于$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$，要证原不等式成立，只需要证明当x＞0时，x＜e^x-1，令h（x）=e^x-x-1，利用导数和最值得关系即可证明．

解答 解：（1）由函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，+∞）
∴f′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{x}{1+x}$-ln（1+x），
∴g′（x）=$\frac{1+x-x}{（1+x）^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=$\frac{-x}{（1+x）^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）为减函数；
（2）（e^x-1）ln（x+1）＞x²等价于$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，
∵$\frac{x}{{e}^{x}-1}$=$\frac{ln{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$=$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$，
∴原不等式等价于$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$，
由（1）知，f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$是（0，+∞）上的减函数，
∴要证原不等式成立，只需要证明当x＞0时，x＜e^x-1，
令h（x）=e^x-x-1，
∴h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴h（x）＞h（0）=0，
即x＜e^x-1，
∴f（x）＞f（e^x-1），
即$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$=＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，
故（e^x-1）ln（x+1）＞x²．

点评 本题考查了导数和函数的单调性最值得关系，考查了转化思想，培养了学生的运算能力，分析解决问题的能力，属于中档题．