Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是面积为$\sqrt{3}$的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是面积为$2\sqrt{3}$的菱形，∠ADC为锐角．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：PA⊥CD；
（3）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析 （1）过P作PE⊥CD于E连接AE，证明PE⊥底面ABCD，利用棱锥的体积公式求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明△ADC是边长为2的等边三角形，则AE⊥CD，根据三垂线定理可知PA⊥CD；
（3）根据二面角平面角的定义可知∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，在三角形APE中求出此角即可．

解答 （1）解：过P作PE⊥CD于E，连接AE，
∵侧面PDC⊥底面ABCD，PE?侧面PDC，且PE⊥CD，
∴PE⊥底面ABCD．
由题意，侧面PDC是面积为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴DC=2，PE=$\sqrt{3}$，
∵底面ABCD是面积为$2\sqrt{3}$的菱形，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}•2\sqrt{3}•\sqrt{3}$=2；
（2）证明：∵2×$\frac{1}{2}$AD•DCsin∠ADC=2$\sqrt{3}$，
∴∠ADE=$\frac{π}{3}$，
故△ADC是边长为2的等边三角形，
∵E为DC的中点，∴AE⊥CD，
∴PA⊥CD；
（3）解：∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角，
∵△ADC和△PDC都是边长为2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小为45°．

点评 本题主要考查了棱锥体积是计算，考查直线与平面所成的角，以及平面与平面垂直的性质和二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．