Question

10．已知函数f（x）=m（x-1）e^x+$\frac{1}{2}$x²（m∈R），其导函数f′（x），若对任意的x＜0，不等式x²+（m+1）x＞f′（x）恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （0，1）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，问题转化为me^x-x-m＞0在x＜0恒成立，构造函数g（x）=me^x-x-m，（x＜0），结合函数的单调性通过讨论m的范围确定函数的单调区间，求出m的具体范围即可．

解答 解：f′（x）=x（me^x+1）；
∴由不等式x²+（m+1）x＞f′（x），
得，x²+（m+1）x＞x（me^x+1）；
∵x＜0；
∴me^x-x-m＞0；
令g（x）=me^x-x-m，（x＜0），
则g′（x）=me^x-1，
当m≤1时，g（x）≤e^x-1＜0，
则g（x）在（-∞，0）递减，
∴g（x）＞g（0）=0，符合题意，
m＞1时，g（x）在（-∞，-lnm）递减，在（-lnm，0）递增，
∴g（x）_min=g（-lnm）＜g（0）=0，不合题意，
∴m的取值范围为（-∞，1]；
故选：C．

点评 考查根据导数符号判断函数的单调性，及求函数的单调区间的方法，函数单调性定义的运用，根据导数求函数的极值及最值，根据函数单调性的定义求函数的最小值．