Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过点P$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点和上顶点．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ） ①求椭圆C的标准方程；
②若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一、过点P作圆的切线，求得一条切线为x=1，由OP⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得AB的斜率，进而得到直线AB的方程；
方法二、求得以OP为直径的圆的方程，联立已知圆的方程，相减 即可得到所求直线AB的方程；
（Ⅱ）①求得椭圆的右焦点和上顶点，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
②设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，由向量的数量积的坐标表示，即可得出m与k的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．

解答 解：（Ⅰ）方法一：过点P作圆的切线，
由题意，其中一条切线方程为：x=1，∴A（1，0），
由题意得，OP⊥AB，∵${k_{OP}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴${k_{AB}}=-\sqrt{3}$，
所以直线AB的方程为：$y=-\sqrt{3}（x-1）$，
即$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$；
方法二：以OP为直径的圆的方程为：$x（x-1）+y（y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=0$，
即${x^2}+{y^2}-x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y=0$，联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y=0}\\{{x^2}+{y^2}-1=0}\end{array}}\right.$，
两式相减，得到直线AB的方程为：$x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}y-1=0$，
即$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$；
（Ⅱ）①令$y=0，x=1；x=0，y=\sqrt{3}$，
∴右焦点为F（1，0），上顶点为$（0，\sqrt{3}）$，
即$c=1，b=\sqrt{3}∴a=2$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
②设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，又椭圆的右顶点D（2，0）
∴$\overrightarrow{DM}=（{x_1}-2，{y_1}-2），\overrightarrow{DN}=（{x_2}-2，{y_2}-2）$
∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=（{x_1}-2，{y_1}）•（{x_2}-2，{y_2}）=0$，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{16mk}{3+4{k}^{2}}$+4=0．
化为7m²+16mk+4k²=0，
解得m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，且满足3+4k²-m²＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-$\frac{2k}{7}$时，l：y=k（x-$\frac{2}{7}$），直线过定点（$\frac{2}{7}$，0）．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为（$\frac{2}{7}$，0）．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．