Question

已知四边形ABCD满足AD∥BC，，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（Ⅰ）求四棱B₁-AECD的体积；
（Ⅱ）证明：B₁E∥面ACF；
（Ⅲ）求面ADB₁与面ECB₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AE的中点M，连接B₁M，证明B₁M⊥面AECD，从而可求四棱B₁-AECD的体积；
（Ⅱ）证明B₁E∥面ACF，利用线面平行的判定定理，证明FO∥B₁E即可；
（Ⅲ）连接MD，分别以ME，MD，MB₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面ECB₁与面ADB₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．
解答：（Ⅰ）解：取AE的中点M，连接B₁M，因为，E是BC的中点，
所以△ABE为等边三角形，所以，
又因为面B₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，…（2分）
所以…（4分）
（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OE=OD，
又F为B₁D的中点，所以FO∥B₁E，
因为FO?面ACF
所以B₁E∥面ACF…（7分）
（Ⅲ）解：连接MD，分别以ME，MD，MB₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则…（9分）
设面ECB₁的法向量，则，
令x'=1，则
设面ADB₁的法向量为，则，
令x=1，则…（11分）
则，
所以二面角的余弦值为…（12分）
点评：本题考查三棱锥的体积，考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，利用空间向量解决面面角问题．