Question

已知α为第二象限角，cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

，求sin

α

2

-cos

α

2

和sin2α+cos2α的值．

Answer 1

由cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

平方得
1+2sin

α

2

cos

α

2

=

5

4

，
即sinα=

1

4

，cosα=-

15

4

．
此时kπ+

π

4

＜

α

2

＜kπ+

π

2

．
∵cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

＜0，
sin

α

2

cos

α

2

=

1

8

＞0，
∴cos

α

2

＜0，sin

α

2

＜0．
∴

α

2

为第三象限角．
∴2kπ+

5π

4

＜

α

2

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z．
∴sin

α

2

＜cos

α

2

，
即sin

α

2

-cos

α

2

＜0．
∴sin

α

2

-cos

α

2

=-

1-sinα

=-

3

2

，
sin2α+cos2α=2sinαcosα+1-2sin²α=

7- 15

8

．