Question

2．△ABC中sin²A+3sinAcosA-1=0，A是锐角．
（1）求tan2A的值；
（2）若cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，c=$\sqrt{10}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由sin²A+3sinAcosA-1=0可得3sinA=cosA，可求得tanA=$\frac{1}{3}$，利用二倍角的正切公式可求tan2A的值；
（2）△ABC中，由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$可求得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由（1）可求得sinA与cosA的值，利用两角和的正弦可求得sinC，又c=$\sqrt{10}$，利用正弦定理可求得a，从而可求△ABC的面积．

解答 解：（1）由条件，得3sinAcosA-cos²A=0，
∵cosA≠0，∴3sinA=cosA，
∴tanA=$\frac{1}{3}$，∴tan2A=$\frac{2tanA}{1{-tan}^{2}A}$=$\frac{3}{4}$．
 （2）由（1）知3sinA=cosA，
又sin²A+cos²A=1，A是锐角，
故sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
又∵cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B为三角形的内角，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{2}{\sqrt{5}}$•$\frac{1}{\sqrt{10}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\frac{c•sinA}{sinC}$=$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=1．

点评 本题考查三角函数的化简求值，着重考查三角函数间的关系式及二倍角的正切与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．