Question

5．已知函数f（x）=x²-ax-alnx（a∈R），$g（x）=-{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+2x-6$
（1）若f（x）的一个极值点为1，求a的值；
（2）设g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值并检验即可；
（2）求出g（x）的最大值，问题等价于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2x-a-\frac{a}{x}$，
令f'（1）=2-a-a=0，则a=1…（3分）
经检验，当a=1时，1是f（x）的一个极值点…（4分）
（2）g'（x）=-3x²+5x+2=-（x-2）（3x+1），
所以g（x）在[1，2]上是增函数，[2，4]上是减函数，
g（x）_max=g（2）=0…（7分）
f（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
由x∈[1，+∞）知，x+ln x＞0，…（8分）
所以f（x）≥0恒成立，
等价于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，…（9分）
令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），
有h′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）2}$＞0，…（10分）
所以h（x）在[1，+∞）上是增函数，
有h（x）≥h（1）=1，所以a≤1 …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．