Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$．
（Ⅰ）分别求$f（2）+f（\frac{1}{2}）$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）$的值；
（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，并给出证明；
（Ⅲ）求值：$f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（\frac{1}{2011}）+f（\frac{1}{2010}）+…+f（\frac{1}{2}）+f（1）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，利用函数性质能求出f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值．
（Ⅱ）猜想f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，再利用函数性质进行证明．
（Ⅲ）由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，能求出f（1）+[f（1）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2011）+f（$\frac{1}{2011}$）]的值

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，
∴$f（2）+f（\frac{1}{2}）=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{{{{（\frac{1}{2}）}^2}}}{{1+{{（\frac{1}{2}）}^2}}}=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{1}{{{2^2}+1}}=1$，
同理可得$f（3）+f（\frac{1}{3}）=1$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）=1$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$．
证明：$f（x）+f（\frac{1}{x}）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}+\frac{{{{（\frac{1}{x}）}^2}}}{{1+{{（\frac{1}{x}）}^2}}}=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}+\frac{1}{{{x^2}+1}}=1$．
（Ⅲ）令$S=f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（\frac{1}{2011}）+f（\frac{1}{2010}）+…+f（\frac{1}{2}）+f（1）$，
则$S=f（1）+f（\frac{1}{2}）+…+f（\frac{1}{2011}）+f（2011）+f（2010）+…+f（2）+f（1）$，
则2S=4022，故S=2011．

点评 本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题