Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R），若f（x）在区间[2，+8）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得可得f′（x）=1-

a

x2

，分当a≥0、a＜0两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合题意求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：由函数f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R），可得f′（x）=1-

a

x2

，当a≥0时，
令f′（x）≥0，求得x≥

a

，或 x≤-

a

，
故函数f（x）的增区间为[

a

，+∞）、（-∞，-

a

]．
再根据f（x）在区间[2，+8）上是增函数，可得

a

≤2，求得0≤a≤4．
当a＜0时，函数f（x）=x+

a

x

在（0，+∞）上是增函数，满足条件．
综上，a≤4．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．