Question

3．定义函数${f_a}（x）={4^x}-（a+1）•{2^x}+a$，其中x为自变量，a为常数．
（I）若当x∈[0，2]时，函数f_a（x）的最小值为一1，求a之值；
（II）设全集U=R，集A={x|f₃（x）≥f_a（0）}，B={x|f_a（x）+f_a（2-x）=f₂（2）}，且（∁_UA）∩B≠∅中，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）若当x∈[0，2]时，换元，得到φ（t）=t²-（a+1）t+a，t∈[1，4]，分类讨论，利用函数f_a（x）的最小值为-1，求a之值；
（II）令t=${2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}$，则t∈[4，5），方程（t²-8）-（a+1）t+2a-6在[4，5）上有解，也等价于方程$a=\frac{{{t^2}-t-14}}{t-2}$在t∈[4，5）上有解，利用基本不等式，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）令t=2^x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，
设φ（t）=t²-（a+1）t+a，t∈[1，4]…（1分）
1°当$\frac{a+1}{2}≤1$，即a≤1时，f_min（x）=φ（1）=0，与已知矛盾；…（2分）
2°当$1＜\frac{a+1}{2}＜4$，即$1＜a＜7，{f_{min}}（x）=φ（\frac{a+1}{2}）={（\frac{a+1}{2}）^2}-\frac{{{{（a+1）}^2}}}{2}+a=-1$，
解得a=3或a=-1，∵1＜a＜7，∴a=3；…（3分）
3°当$\frac{a+1}{2}≥4$，即a≥7，f_min（x）=φ（4）=16-4a-4+a=1，
解得$a=\frac{13}{3}$，但与a≥7矛盾，故舍去…（4分）
综上所述，a之值为3…（5分）
（Ⅱ）∁_UA={x|4^x-4•2^x+3＜0}={x|0＜x＜log₂3}…（6分）
B={x|4^x-（a+1）•2^x+a+4^2-x-（a+1）•2^2-x+a=6}=$\{x|（{4^x}+\frac{16}{4^x}）-（a+1）（{2^x}+\frac{4}{2^x}）+2a-6=0\}$．…（7分）
由已知（∁_UA）∩B≠∅即$（{4}^{x}+\frac{16}{{4}^{x}}）$-（a+1）（${2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}$）+2a-6=0在（0，log₂3）内有解，
令t=${2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}$，则t∈[4，5），方程（t²-8）-（a+1）t+2a-6在[4，5）上有解，
也等价于方程$a=\frac{{{t^2}-t-14}}{t-2}$在t∈[4，5）上有解…（9分）
∵$h（t）=\frac{{{t^2}-t-14}}{t-2}=t+1-\frac{12}{t-2}$在t∈[4，5）上单调递增，…（10分）
∴h（t）∈[-1，2）…（11分）
故所求a的取值范围是[-1，2）…（12分）

点评 本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查换元法的运用，属于中档题．