Question

2．（1）已知a，b，m都是正数，且a＜b，用分析法证明$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$；
（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，n∈N^*．利用（1）的结论证明如下等式：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）去分母，寻找使不等式成立的条件，得出结论；
（2）由（1）可得$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}＜\frac{2+1}{{（{3^n}-1）+1}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$，使用等比数列的求和公式得出结论．

解答 证明：（1）要证$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$，由于a，b，m都是正数，
只需证a（b+m）＜b（a+m），即ab+am＜ab+bm，
只需证am＜bm
因为m＞0，所以只需证a＜b，
又已知a＜b，所以原不等式成立
（2）证明：$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}$．
当n=1时，左式=$1＜\frac{3}{2}$=右式．
当n＞1，n∈N^*时，由（1）知：$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}＜\frac{2+1}{{（{3^n}-1）+1}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$
于是$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}=\frac{3}{2}（1-\frac{1}{3^n}）＜\frac{3}{2}$
综上可得$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{3}{2}$

点评 本题考查了不等式的证明，数列求和，属于中档题．