Question

命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，命题q：函数y=（2a²-a）^x为增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意知，p和q中必然有一个是真命题，另一个是假命题，当p真q假时，求出实数a的一个取值范围，
当p假q真时，再求出实数a的另一个取值范围，最后将这两个范围取并集，就得到实数a的取值范围．

解答：解：命题p为真时，△=（a-1）²-4a²＜0，即a＜-1或a＞

1

3

．
命题q为真时，2a²-a＞1，解得 a＜-

1

2

，或 a＞1．
∵p或q为真，p且q为假，∴p和q一真一假．
当p真q假时，则

a＜-1 或a＞ 1 3 - 1 2 ≤ a ≤ 1

，即

1

3

＜a ≤1；
当p假q真时，则

-1≤a≤ 1 3 a＜- 1 2 或a＞ 1

，-1≤a＜-

1

2

．
综上所述：实数a的取值范围为 {a|

1

3

＜a≤1 或-1≤a ＜-

1

2

}．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性及特殊点，体现了分类讨论的数学思想．