Question

19．已知0＜a＜$\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}＜β＜0，cos（{α-β}）=-\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$，则sinβ=（　　）

• A． $\frac{7}{25}$
• B． $-\frac{7}{25}$
• C． $\frac{24}{25}$
• D． -$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$，代入两角差的余弦函数公式化简可求sinβ的值．

解答 解：∵0＜a＜$\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}＜β＜0，cos（{α-β}）=-\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$，
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{3}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$，
∴由cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{3}{5}$，可得：$\frac{3}{5}$$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$+$\frac{4}{5}$sinβ=-$\frac{3}{5}$，
∴整理可得：25sin²β+24sinβ=0，
∴解得：sinβ=-$\frac{24}{25}$，或0（舍去）．
故选：D．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．