Question

6．已知F₁、F₂分别是双曲线x²-4y²=4的左、右焦点，点P在该双曲线的右支上，且|PF₁|+|PF₂|=6，则cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用双曲线标准方程，求出焦距，再利用双曲线的定义和余弦定理能求出cos∠F₁PF₂．

解答 解：由双曲线x²-4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1得c²=5，
∴4c²=20
设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则d₁-d₂=4…①
由已知条件：d₁+d₂=6…②
由①、②得，d₁²+d₂²=26，d₁d₂=5
在△F₁PF₂中，由余弦定理得，cos∠F₁PF₂=$\frac{26-20}{2×5}$=$\frac{3}{5}$
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 解决焦点三角形问题一般要用到两种知识，一是曲线定义，本题中由双曲线定义可得焦半径之差，已知有焦半径之积，故可求出焦半径或其关系；二是余弦定理，利用解三角形知识求角或面积．