Question

4．设函数f（x）=x³+x，若当$0≤θ≤\frac{π}{2}$时，f（msinθ）+f（sinθ-cos²θ+2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-3，+∞）
• B． （-1，+∞）
• C． （-∞，-3）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 由f（-x）=-f（x）可知f（x）=x³+x为奇函数，利用f′（x）=3x²+1＞0，可知f（x）=x³+x为R上的增函数，于是f（msinθ）+f（sinθ-cos²θ+2）＞0?msinθ＞cos²θ-sinθ-2=-sin²θ-sinθ-1，整理可得-m＜sinθ+$\frac{1}{sinθ}$+1，令t=sinθ（0＜t≤1），构造函数g（t）=t+$\frac{1}{t}$+1，则-m＜g（t）_min，由g（t）在区间（0，1]上单调递减，可求得g（1）=3，于是可得答案．

解答 解：∵f（-x）=（-x）³-x=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）=x³+x为奇函数，
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴f（x）=x³+x为R上的增函数，
∵f（msinθ）+f（sinθ-cos²θ+2）＞0，
∴f（msinθ）＞-f（sinθ-cos²θ+2）=f（cos²θ-sinθ-2），
∴msinθ＞cos²θ-sinθ-2=-sin²θ-sinθ-1，
∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，
∴当θ=0时，0＞-1恒成立；
当θ∈（0，$\frac{π}{2}$]时，0＜sinθ≤1，
∴m＞-sinθ-$\frac{1}{sinθ}$-1，即-m＜sinθ+$\frac{1}{sinθ}$+1，令t=sinθ（0＜t≤1），
g（t）=t+$\frac{1}{t}$+1在（0，1]上单调递减，
∴-m＜g（1）=3，
∴m＞-3．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查分离参数法、构造法、导数法的综合运用，属于中档题．