Question

20．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知D，E分别为BC，B₁C₁的中点，点F在棱CC₁上，且EF⊥C₁D．求证：
（1）直线A₁E∥平面ADC₁；
（2）直线EF⊥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）连接ED，∵D，E分别为BC，B₁C₁的中点．可得四边形B₁BDE是平行四边形，进而证明四边形AA₁ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A₁E∥平面ADC₁．
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB₁，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．

解答 证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B₁C₁的中点，
∴B₁E∥BD且B₁E=BD，
∴四边形B₁BDE是平行四边形，
∴BB₁∥DE且BB₁=DE，又BB₁∥AA₁且BB₁=AA₁，
∴AA₁∥DE且AA₁=DE，
∴四边形AA₁ED是平行四边形，
∴A₁E∥AD，又∵A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
∴直线A₁E∥平面ADC₁．
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，所以AD⊥BB₁，
又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又BB₁，BC?平面B₁BCC₁，BB₁∩BC=B，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
又EF?平面B₁BCC₁，∴AD⊥EF，
又EF⊥C₁D，C₁D，AD?平面ADC₁，C₁D∩AD=D，
∴直线EF⊥平面ADC₁．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．