Question

18．2015年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：

时间	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
车流量x（万辆）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的浓度y（微克/立方米）	28	30	35	41	49	56	62

（1）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（提示数据：$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}=1372}$）
（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时PM2.5的浓度；（II）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求回归系数，即可求y关于x的线性回归方程；
（2）（I）当车流量为12万辆时，即x=12时，$\hat y=6×12+19=91$；（II）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，可得结论．

解答 解：（1）由数据可得：$\overline{x}=\frac{1}{7}（1+2+3+4+5+6+7）=4$，$\overline{y}=\frac{1}{7}（28+30+35+41+49+56+62）=43$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}=1372}，\sum_{i=1}^7{{x_i}^2=140}$，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x•\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{1372-1204}{140-112}=6$，$\hat a=\bar y-\hat bx=43-4×6=19$，
故y关于x的线性回归方程为$\hat y=6x+19$．
（2）（ⅰ）当车流量为12万辆时，即x=12时，$\hat y=6×12+19=91$．
故车流量为12万辆时，PM2.5的浓度为91微克/立方米．
（II）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．…（12分）

点评 本题考查回归方程，考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．