Question

14．如图，曲线$C：\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1（m＞0，n＞0）$与正方形L：|x|+|y|=4的边界相切．
（1）求m+n的值；
（2）设直线l：y=x+b交曲线C于A，B，交L于C，D，是否存在的这样的曲线C，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，得（n+m）x²-8mx+16m-mn=0，由此利用韦达定理能求出m+n．
（2）若|CA|，|AB|，|BD|成等差数列，则|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得（n+m）x²+2bmx+mb²-mn=0．由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出结果．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，得（n+m）x²-8mx+16m-mn=0，
∴△=64m²-4（m+n）（16m-mn）=0，
化简，得4mn（m+n）-64mn=0，
又m＞0，n＞0，∴mn＞0，∴m+n=16．
（2）若|CA|，|AB|，|BD|成等差数列，
则2|AB|=|CA|+|BD|，∴3|AB|=4$\sqrt{2}$，即|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得（n+m）x²+2bmx+mb²-mn=0．
由△=（2bm）²-4（n+m）（mb²-mn）=-4nmb²+4n²m+4m²n＞0，
得b²＜m+n=16，且{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2bm}{n+m}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{m{b}^{2}-mn}{n+m}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{-4nm{b}^{2}+4{n}^{2}m+4{m}^{2}n}}{|a|}$=$\sqrt{2}•\frac{\sqrt{4mn（16-{b}^{2}）}}{16}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$\sqrt{（16-{b}^{2}）mn}$=$\frac{32}{3}$，
∴$\frac{32}{3}•\frac{1}{\sqrt{16-{b}^{2}}}$=$\sqrt{mn}≤\frac{m+n}{2}=8$，
∴${b}^{2}≤\frac{128}{9}$，即有-$\frac{8\sqrt{2}}{3}≤b≤\frac{8\sqrt{2}}{3}$，符合b²＜m+n=16，
∴当实数b的取值范围是[-$\frac{8\sqrt{2}}{3}，\frac{8\sqrt{2}}{3}$]时，存在的这样的曲线C，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列．

点评 本题考查两数和的求法，考查满足三条线段成等差数列的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．