Question

8．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线x+y-6=0垂直，则切点坐标为（0，1）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀=1，设g（x）=e^x-x-1，求得导数和单调区间，和最值，即可得到切点坐标．

解答 解：f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²的导数为f′（x）=e^x-x，
可得在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率为k=e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀，
由切线与直线x+y-6=0垂直，可得
e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀=1，
设g（x）=e^x-x-1，导数为g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．
则g（x）在x=0处取得极小值，且为最小值0．
即有e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀=1的解为x₀=0，
f（x₀）=e⁰-0=1．
则切点坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简运算能力，属于中档题．