Question

4．已知f（x）=e^x，g（x）=-x²+2x+a，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性；
（Ⅱ）记φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜0\\ g（x），x＞0\end{array}$，设A（x₁，φ（x₁）），B（x₂，φ（x₂））为函数φ（x）图象上的两点，且x₁＜x₂．
（ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x₂-x₁≥1；
（ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）（i）法一：求出x₂-x₁的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；法二：用x₁表示x₂，根据不等式的性质判断即可；
（ii）求出A、B的坐标，分别求出曲线在A、B的切线方程，结合函数的单调性确定a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=e^x（-x²+2x+a），则h′（x）=-e^x[x²-（a+2）]（2分）
当a+2≤0即a≤-2时，h′（x）≤0，h（x）在R上单调递减；（3分）
当a+2＞0即a＞-2时，h′（x）=-e^x[x²-（a+2）]=-e^x（x+$\sqrt{a+2}$）（x-$\sqrt{a+2}$），
此时h（x）在（-∞，-$\sqrt{a+2}$）和（$\sqrt{a+2}$，+∞）上都是单调递减的，
在（-$\sqrt{a+2}$，$\sqrt{a+2}$） 上是单调递增的；（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）g′（x）=-2x+2，据题意有（-2x₁+2）（-2x₂+2）=-1，又0＜x₁＜x₂，
则-2x₁+2＞0且-2x₂+2＜0，⇒（-2x₁+2）（2x₂-2）=1，
法1：x₂-x₁=$\frac{1}{2}$[（-2x₁+2）+（2x₂-2）]≥$\sqrt{（-2x1+2）•（2x2-2）}$=1
当且仅当（-2x₁+2）=（2x₂-2）=1即x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$时取等号（8分）
法2：x₂=1+$\frac{1}{4（1-x1）}$，0＜1-x₁＜1⇒x₂-x₁=1-x₁+$\frac{1}{4（1-x1）}$≥2$\sqrt{（1{-x}_{1}）\frac{1}{4（1{-x}_{1}）}}$=1
当且仅当1-x₁=$\frac{1}{4（1-x1）}$⇒x₁=$\frac{1}{2}$时取等号（8分）
（ⅱ）要在点A，B处的切线重合，首先需在点A，B处的切线的斜率相等，
而x＜0时，φ′（x）=f′（x）=e^x∈（0，1），则必有x₁＜0＜x₂＜1，
即A（x₁，ex₁），B（x₂，-${{x}_{2}}^{2}$+2x₂+a）
A处的切线方程是：y-ex₁=ex₁（x-x₁）⇒y=ex₁x+ex₁（1-x₁），
B处的切线方程是：y-（-${{x}_{2}}^{2}$+2x₂+a）=（-2x₂+2）（x-x₂）
即y=（-2x₂+2）x+${{x}_{2}}^{2}$+a，（10分）
据题意则$\left\{\begin{array}{l}{{ex}_{1}=-{2x}_{2}+2}\\{{ex}_{1}（1{-x}_{1}）{{=x}_{2}}^{2}+a}\end{array}\right.$⇒4a+4=-ex₁（ex₁+4x₁-8），x₁∈（-∞，0）
设p（x）=-e^x（e^x+4x-8），x＜0，p′（x）=-2e^x（e^x+2x-2）
设q（x）=e^x+2x-2，x＜0⇒q′（x）=e^x+2＞0在（-∞，0）上恒成立，
则q（x）在（-∞，0）上单调递增⇒q（x）＜q（0）=-1＜0，
则p′（x）=-2e^x（e^x+2x-2）＞0，⇒p（x）在（-∞，0）上单调递增，
则p（x）＜p（0）=7，再设r（x）=e^x+4x-8，x＜0
r′（x）=e^x+4＞0，⇒r（x）在（-∞，0）上单调递增，⇒r（x）＜r（0）=-7＜0
则p（x）=-e^x（e^x+4x-8）＞0在（-∞，0）恒成立
即当x∈（-∞，0）时p（x）的值域是（0，7）
故4a+4∈（0，7）⇒-1＜a＜$\frac{3}{4}$，即为所求．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．