Question

18．已知$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（3，1），D为线段AB的中点，设M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值为10．

Answer 1

分析 求出点D的坐标，写出$\overrightarrow{OM}$，表示出$\overrightarrow{MA}$、$\overrightarrow{MB}$，计算$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最大值．

解答 解：∵D为线段AB的中点，
∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=（2，4），
∵M为线段OD上的任意一点，
∴$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OD}$（0≤λ≤1），
∴$\overrightarrow{OM}$=（2λ，4λ），
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OM}$=（1-2λ，7-4λ），
$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OM}$=（3-2λ，1-4λ），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（1-2λ）（3-2λ）-（7-4λ）（1-4λ）
=20λ²-40λ+10
=20（λ-1）²-10；
∵0≤λ≤1当λ=0时，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$有最大值，最大值为10．
故答案为：10．

点评 本题考查了平面向量的数量积与函数值的应用问题，是中档题．