Question

17．已知函数f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x），令h（x）=f（x）-g（x）
（1）求函数h（x）定义域，判断h（x）的奇偶性并写出证明过程．
（2）判断函数h（x）在定义域内的单调性，写出必要的推理过程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，利用奇函数的定义进行证明；
（2）利用函数单调性的定义判断及证明．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，可得-1＜x＜1，函数的定义域为（-1，1）．
h（-x）=f（-x）-g（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-h（x）
∴h（x）是奇函数．
（2）函数h（x）在定义域内的单调增．
设1＜x₁＜x₂，h（x₁）-h（ x₂）=${log_2}\frac{{（{x_1}-1）（{x_2}+1）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}-1）}}={log_2}\frac{{{x_1}{x_2}-1+（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}-1-（{x_1}-{x_2}）}}$，
真数分子，分母都为正，且分子＜分母．
所以0＜真数＜1，
所以h（x₁）-h（ x₂）＜0，h（x₁）＜h（x₂），
∴函数h（x）在定义域内的单调增．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．