Question

16．设等差数列{a_n}的公差为d，点（a_n，b_n）在函数f （x）=2^x的图象上（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）若a₁=1，直线y=（${2^{a_2}}$ln2）（x-a₂）+${2^{a_2}}$在x轴上的截距为2-$\frac{1}{ln2}$，求数列{a_nb_n²}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得，b_n=${2^{a_n}}$＞0，当n≥1时，$\frac{bn+1}{bn}$=$\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{{{2^{a_n}}}}$=${2^{{a_{n+1}}-}}^{a_n}$，再利用等差数列的定义即可证明为常数．
（II）直线y=（${2^{a_2}}$ln2）（x-a₂）+${2^{a_2}}$在x轴上的截距为a₂-$\frac{1}{ln2}$，由题意知，a₂-$\frac{1}{ln2}$=2-$\frac{1}{ln2}$，解得a₂=2，可得a_nb_n²=n•4ⁿ．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由已知得，b_n=${2^{a_n}}$＞0，
当n≥1时，$\frac{bn+1}{bn}$=$\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{{{2^{a_n}}}}$=${2^{{a_{n+1}}-}}^{a_n}$，
∵数列{a_n}的公差为d，∴$\frac{bn+1}{bn}$=2^d．
故数列{b_n}是首项为2a₁，公比为2^d的等比数列．
（Ⅱ）解：直线y=（${2^{a_2}}$ln2）（x-a₂）+${2^{a_2}}$在x轴上的截距为a₂-$\frac{1}{ln2}$，
由题意知，a₂-$\frac{1}{ln2}$=2-$\frac{1}{ln2}$，解得a₂=2，
∴d=a₂-a₁=1，a_n=n，b_n=2ⁿ，a_nb_n²=n•4ⁿ．
于是，S_n=1×4+2×4²+3×4³+…+（n-1）×4^n-1+n×4ⁿ，
4S_n=1×4²+2×4³+…+（n-1）×4ⁿ+n×4ⁿ⁺¹，
因此，S_n-4S_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4n+1-4}{3}$-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{（1-3n）4n+1-4}{3}$，
∴S_n=$\frac{（3n-1）4n+1+4}{9}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．