Question

12．有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，AC⊥BC，BD⊥DA．DB=4，AB=5，AD=3，AC=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．设∠DAB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．可得：cos$（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．在△ACD中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：如图所示，AC⊥BC，BD⊥DA．
DB=4，AB=5，AD=3，AC=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
设∠DAB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
cos$（α+\frac{π}{4}）$=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴在△ACD中，CD²=$（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}$+3²-2×$3×\frac{5\sqrt{2}}{2}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{10}）$=$\frac{49}{2}$．
∴CD=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{{7\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、直角三角形的边角关系、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．