Question

11．已知函数f（x）=x+$\frac{a^2}{x}$，g（x）=x+lnx，其中a≥1．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求h（x）=f（x）+g（x）在（1，h（1））处的切线方程；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对数，计算f′（2）=0，求出a的值，从而求出h（x）的表达式，求出切线方程即可；
（2）问题等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，确定a的范围即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}$，x=2是函数f（x）的极值点，
∴f'（2）=0，即$1-\frac{a^2}{4}$，又a≥1，∴a=2，
∴$h（x）=f（x）+g（x）=2x+\frac{4}{x}+lnx$，
∴$h'（x）=2-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x}$，
∴$k=h'（1）=2-\frac{4}{1^2}+\frac{1}{1}=-1$，又h（1）=6，
∴所求的切线方程是  y-1=-（x-6），
即  y=-x+7．
（2）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，
当x∈[1，e]时，$g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$，
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，
∴[g（x）]_max=g（e）=e+1，
∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0；
①当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
若a＜x≤e，则$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＞0$，
∴函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数，
∴[f（x）]_min=f（a）=2a，
由2a≥e+1，得a≥$\frac{e+1}{2}$，又1≤a≤e，∴$\frac{e+1}{2}$≤a≤e；
②．当a＞e且x∈[1，e]时，$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
∴函数$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是减函数，
∴${[{f（x）}]_{min}}=f（e）=e+\frac{a^2}{e}$，
由$e+\frac{a^2}{e}$≥e+1，得a≥$\sqrt{e}$，
又a＞e，∴a＞e，
综上所述，a的取值范围为$[{\frac{e+1}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．