Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当三棱锥C-PBD的体积等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，求PA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BD⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）利用V_C-PBD=V_P-BCD，根据体积公式，求PA的长．

解答 （Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．-----------------（4分）
又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．      …（6分）
（Ⅱ）解：因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，
所以${S_{△BCD}}=\sqrt{3}$．
又V_C-PBD=V_P-BCD，三棱锥P-BCD的高为PA，
所以$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×PA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得$PA=\frac{3}{2}$．     …（12分）

点评 本题考查平面与平面、直线与平面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．