Question

16．如图，三棱柱$ABC-A_1^{\;}B_1^{\;}C_1^{\;}$中，$A_1^{\;}A⊥底面ABC$，$AC=AB=AA_1^{\;}=4$，∠BAC=90°，点D是棱$B_1^{\;}C_1^{\;}$的中点．
（Ⅰ）求证：$A_1^{\;}D⊥$平面$BB_1^{\;}C_1^{\;}C$；
（Ⅱ）求三棱锥$C_1^{\;}-ADC$的体积．

Answer 1

分析 （I）BC的中点E，连结DE，AE，则四边形AA₁DE是平行四边形，将问题转化为证明AE⊥平面BCC₁B₁；
（II）以平面CC₁D为棱锥的底面，则AE为棱锥的高，代入公式计算即可．

解答 证明：（I）取BC的中点E，连结DE，AE，
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AE?平面ABC，
∴CC₁⊥AE，
∵AC=AB，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
又CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∵AA₁∥CC₁∥DE，
∴四边形AA₁DE是平行四边形，
∴A₁D∥AE．
∴A₁D⊥平面BCC₁B₁．
解：（II）∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴BC=4$\sqrt{2}$，AE=CE=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥B₁C₁，
∴V${\;}_{{C}_{1}-ADC}$=V${\;}_{A-C{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△C{C}_{1}D}$•AE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．