Question

8．在△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，若G为BC的中点，则$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{AC}$=2．

Answer 1

分析 根据条件可以判断△ABC为Rt△，∠B=90°，并得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，求出cos$∠BAC=\frac{\sqrt{3}}{3}$，而$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$，这样进行数量积的运算便可求出$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：∵AB²+BC²=AC²；
∴∠B=90°如图，在Rt△ABC中，$cos∠BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵G为BC中点；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos∠BAC+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（1+3）$=2．
故答案为：2．

点评 考查直角三角形边的关系，余弦函数的定义，以及向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算及计算公式．