Question

10．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点M、N分别在边AB、BC上，沿直线MD、DN、NM，分别将△AMD、△CDN、△BNM折起，点A，B，C重合于一点P．
（1）证明：平面PMD⊥平面PND；
（2）若cos∠DNP=$\frac{3}{5}$，PD=5，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，由此能证明平面PMD⊥平面PND．
（2）由题意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，设AM=a，BN=b，作DH⊥BC，由此入手能求出直线PD与平面DMN所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵翻折前MB⊥NB，MA⊥DA，∴翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，
∵NP∩PD=P，∴MP⊥平面PND，
∵MP?平面PMD，∴平面PMD⊥平面PND．
解：（2）由题意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，
设AM=a，BN=b，作DH⊥BC，NH=$\frac{DH}{tan∠DNP}=2a×\frac{3}{4}=\frac{3a}{2}$，
∴AD=BN+NH=b+$\frac{3}{2}a$，
∴${S}_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}AB（AD+BC）=a（3b+\frac{3}{2}a）$=3ab+$\frac{3}{2}{a}^{2}$，
S_△MND=S_梯形ABCD-S_△AMD-S_△MBN-S_△DNC
=3ab+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{1}{2}ab-\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{1}{2}ab-ab$
=ab+$\frac{3}{4}{a}^{2}$，
${V}_{P-MDN}=\frac{1}{3}MP•{S}_{△PND}$=$\frac{1}{3}CD×{S}_{△CND}$=$\frac{a}{3}×ab$=$\frac{{a}^{2}b}{3}$．
PO⊥平面MPN，
PO=$\frac{3{V}_{P-MPN}}{{S}_{△MDP}}$=$\frac{{a}^{2}b}{ab+\frac{3}{4}{a}^{2}}$=$\frac{ab}{b+\frac{3}{4}a}$，
sin$∠PDO=\frac{PO}{PD}=\frac{1}{5}×\frac{ab}{b+\frac{3}{4}a}$，
如图，$\left\{\begin{array}{l}{b+\frac{3}{2}a=PD=5}\\{（b-\frac{3}{2}a）^{2}+4{a}^{2}=P{O}^{2}=25}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{30}{13}$，b=$\frac{20}{13}$，代入上式得sin∠PDO=$\frac{48}{121}$．
∴直线PD与平面DMN所成角的正弦值为$\frac{48}{121}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是难题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．