Question

（文科）袋中共有红球和白球10个，其中红球个数不少于3个，现从袋中任意取出3个球，问袋中有多少个红球时，使取得的球全为同色球的概率最小？

Answer 1

设x，y分别为红球和白球的个数，则有x+y=10，x，y∈N₊，x≥3
从10个球中任取3个球，全为红色的概率为P1=

C 3x

C 310

=

x(x-1)(x-2)

10×9×8

，
全为白色的概率为P2=

C 3y

C 310

=

y(y-1)(y-2)

10×9×8

，上述两个事件互斥，故取出3个球全为同色球的概率为：P=P1+P2=

x(x-1)(x-2)

10×9×8

+

y(y-1)(y-2)

10×9×8

=

x(x-1)(x-2)+y(y-1)(y-2)

720

P= (x3+y3)-3(x2+y2)+2(x+y) 720 = (x+y)3-3xy(x+y)-3[(x+y)2-2xy]+2(x+y) 720 = 1000-30xy-3(100-2xy)+20 720 =1- xy 30

又∵x+y=10，
∴xy≤(

x+y

2

)2=25，此时x=y=5，
因此当x=5时，P最小，此时P=

1

6