Question

2．已知圆C₁：（x-4）²+（y-2）²=4和圆C₂：（x-1）²+（y-3）²=9．
（1）试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程；
（2）若直线l过点（1，0）且与圆C₁相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径，计算出圆心距并比较其与|r₁-r₂|、r₁+r₂的大小关系，可得两圆的位置关系是相交；将两圆的一般式方程相减，消去平方项可得关于x、y的二次一次方程，即为两圆公共弦所在直线方程；
（2）求出圆心到直线的距离等于半径，可求解直线l的方程．

解答 解：（1）圆C₁：（x-4）²+（y-2）²=4
∴圆心C₁（4，2），半径r₁=2，圆C₂：（x-1）²+（y-3）²=9的圆心C₂（1，3），半径r₂=3
∵|r₁-r₂|=1，r₁+r₂=5，圆心距C₁C₂=$\sqrt{（{4-1）}^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$
∴|r₁-r₂|≤C₁C₂≤r₁+r₂，得两圆的位置关系是相交；
圆C₁：（x-4）²+（y-2）²=4和圆C₂：（x-1）²+（y-3）²=9．
∴圆C₁和圆C₂的方程两边对应相减，化简得6x-2y-15=0，
即为两圆公共弦所在直线方程．
（2）设切线方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵圆心（4，2）到切线l的距离等于半径2，
∴$\frac{|4k-2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{12}{5}$或k=0，
∴切线方程为y=$\frac{12}{5}$（x-1），即12x-5y-12=0，或y=0
所以，所求的直线l的方程是12x-5y-12=0，或y=0．

点评 本题给出两圆的一般式方程，求两圆的位置关系并求它们的公切线方程，着重考查了圆的标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．