Question

17．$\int_{-1}^1$（xcosx+$\sqrt{4-{x^2}}$）dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据奇函数的性质得到$\int_{-1}^1$xcosxdx=0，再根据定积分的几何意义可得$\int_{-1}^1$$\sqrt{4-{x^2}}$dx表示如图所示的阴影部分的面积，问题得以解决．

解答 解：∵y=xcosx为奇函数，
∴$\int_{-1}^1$xcosxdx=0，
∵$\int_{-1}^1$$\sqrt{4-{x^2}}$dx表示如图所示的阴影部分的面积，
∴OB=1，OC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠AOC=30°，
∴S_扇形AOC+S_△OBC=$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_阴影=2（S_扇形AOC+S_△OBC）=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
∴$\int_{-1}^1$（xcosx+$\sqrt{4-{x^2}}$）dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$

点评 本题考查了奇函数的性质和定积分的几何意义，属于中档题．