Question

7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A为锐角，且$\frac{sin2A}{tanA}=\frac{{2{b^2}}}{c^2}$．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角的正弦公式、商的关系化简后，再由余弦定理化简后求出C的值；
（2）由（1）和内角和定理表示B，利用诱导公式、两角和的正弦公式化简后，由角A为锐角和正弦函数的性质，求出sinA+sinB的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，$\frac{sin2A}{tanA}=\frac{2{b}^{2}}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{2sinAcosA}{\frac{sinA}{cosA}}=\frac{2{b}^{2}}{{c}^{2}}$，得$co{s}^{2}A=\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$，
∵角A为锐角，∴cosA=$\frac{b}{c}$，
由余弦定理得，$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{b}{c}$，化简得c²=a²+b²，
∴C=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）得，A+B=$\frac{π}{2}$，则B=$\frac{π}{2}$-A，
∴sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{π}{2}$-A）=sinA+cosA=$\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）$，
由$0＜A＜\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（A+\frac{π}{4}）≤1$，
则$1＜\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，
∴sinA+sinB的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及正弦函数的性质应用，熟练掌握定理和公式是解题的关键，属于中档题．